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By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra: Ein Arbeits- und Übungsbuch

Die Bew? ltigung des Grundstudiums Mathematik entscheidet sich gr? ?tenteils am erfolgreichen L? sen der gestellten ? bungsaufgaben. Dies erfordert jedoch eine Professionalit? t, in die Studierende erst langsam hineinwachsen m? ssen. Das vorliegende Buch m? chte sie bei diesem Prozess unterst? tzen. Es schafft Vorbilder in Gestalt ausf?

Introduction to Rings And Modules

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Algebra: Rings, Modules and Categories I

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So formulierte 1796 selbst Carl Friedrich Gauß (1777-1855) anlässlich seines Beweises des Fundamentalsatzes der Algebra, obwohl gerade dieser Satz eine entscheidende Bestätigung der Nützlichkeit von komplexen Zahlen liefert (und uns in Kapitel 4 beschäftigen wird): Meinen Beweis werde ich ohne Benutzung imaginärer Größen durchführen, obschon auch ich mir dieselbe Freiheit gestatten könnte, deren sich alle neueren Analytiker bedient haben16. Vielleicht den Kern vieler Vorbehalte – selbst Leibniz (1646-1716) hatte 1702 von einem „Wunder der Analysis, einer Missgeburt der Ideenwelt“ gesprochen – traf Gauß 36 Jahre später, nachdem er sich zwischenzeitlich mehrfach genötigt gesehen hatte, die „Metaphysik“ der komplexen Zahlen erörtern zu müssen: Die Schwierigkeiten, mit denen man die Theorie der imaginären Größen umgeben glaubt, haben ihren Grund größtenteils in den wenig schicklichen Benennungen.

Dazu wählt man zunächst zur Abkürzung die Bezeichnung 1 2 ζ =− + 3 i 2 und erkennt dann, dass die beiden der Cardanischen Formel zugrunde liegenden Gleichungen (siehe Seite 6) 3uv = − p u + v 3 = −q 3 außer dem bereits in Kapitel 1 angeführten Lösungspaar (u, v) zwei weitere Lösungspaare (ζ u, ζ 2v) und (ζ 2u, ζ v) besitzen, so dass man insgesamt die folgenden drei Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung x3 + px + q = 0 erhält: 20 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen x1 = 3 − q2 + x2 = ζ 3 − q2 + x3 = ζ 2 3 − q2 + ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) q 2 2 p 3 3 + 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ2 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ 3 − q2 − ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 Die Formel für die drei Lösungen gilt ganz allgemein, da bei ihrer Herleitung keinerlei Einschränkung gemacht wurden.

Damit schien der komplizierte Wurzelausdruck tatsächlich gleich 4 zu sein. Bombelli kommentierte: „Ein ausschweifender Gedanke nach Meinung vieler. Ich selbst war lange Zeit der gleichen Ansicht. Die Sache schien mir auf Sophismen mehr als auf Wahrheit zu beruhen, aber ich suchte so lange, bis ich den Beweis fand“15. Die gewagten Berechnungen hatten damit eine Erklärung für ein bereits vorher bekanntes Ergebnis geliefert, so wie es entwicklungsgeschichtlich sicher ähnlich der Fall gewesen sein dürfte, als negative Zahlen erstmals als zweckmäßige Erweiterung des Zahlbereichs in Betracht gezogen wurden.

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