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By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra: Ein Arbeits- und Übungsbuch

Die Bew? ltigung des Grundstudiums Mathematik entscheidet sich gr? ?tenteils am erfolgreichen L? sen der gestellten ? bungsaufgaben. Dies erfordert jedoch eine Professionalit? t, in die Studierende erst langsam hineinwachsen m? ssen. Das vorliegende Buch m? chte sie bei diesem Prozess unterst? tzen. Es schafft Vorbilder in Gestalt ausf?

Introduction to Rings And Modules

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Algebra: Rings, Modules and Categories I

VI of Oregon lectures in 1962, Bass gave simplified proofs of a few "Morita Theorems", incorporating rules of Chase and Schanuel. one of many Morita theorems characterizes whilst there's an equivalence of different types mod-A R::! mod-B for 2 earrings A and B. Morita's answer organizes rules so successfully that the classical Wedderburn-Artin theorem is a straightforward outcome, and in addition, a similarity type [AJ within the Brauer staff Br(k) of Azumaya algebras over a commutative ring ok comprises all algebras B such that the corresponding different types mod-A and mod-B inclusive of k-linear morphisms are identical by way of a k-linear functor.

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Damit ist q ein primäres Ideal, und zwar mit Wurzel p := (x, y). Da p2 q p sehen wir, daß ein primäres Ideal im allgemein keine Potenz eines Primideals sein muß. 8. Seien K ein Körper und A := K[x, y, z]/(xy − z 2 ). Mit x¯, y¯, z¯ bezeichnen ∼ wir die Bilder von x, y, z in A. Es ist p := (¯ x, z¯) ein Primideal in A, denn √ 2 A/p = K[y], 2 2 2 ein Integritätsbereich. Wir haben x¯y¯ = z¯ ∈ p , aber x¯ ∈ / p und y¯ ∈ / p = p, also ist 2 p nicht primär. Wir sehen also, daß Potenzen von Primidealen nicht notwendigerweise primär sind.

Das Ideal q ist also genau dann primär, falls die nilpotenten Elemente in A/q gerade die Nullteiler in A/q sind. 2. Jedes Primideal in A ist auch primär. 3. Sei φ : A → B ein Homomorphismus kommutativer Ringe. Ist dann q ein primäres Ideal in B, ist die Kontraktion A ∩ q primär in A, denn A/(A ∩ q) ist ein Unterring von B/q. Sei q ein primäres Ideal in einem kommutativen Ring A. 4. Es ist q das kleinste Primideal p mit p ⊃ q. √ Beweis. 1. Da q = p , wobei p für ein Primideal von A steht, reicht es zu zeigen, p ⊃q √ daß q ein Primideal ist.

Xn ] auf B existiert. 9. Ein kommutativer Ring B heißt endlich erzeugt, falls er eine Z-Algebra endlichen Typs ist. Dies ist gleichbedeutend damit, daß endlich viele Elemente b1 , . . , bn von B existieren, so daß jedes Element von B als Polynom in den bi mit ganzzahligen Koeffizienten geschrieben werden kann. 1 Definition des Tensorproduktes zweier Algebren Sei A ein kommutativer Ring, und seien B und C zwei kommutative A-Algebren. Da B und C insbesondere A-Moduln sind, können wir den A-Modul D := B A ⊗A C A betrachten.

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