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By Jürgen Hedderich, Lothar Sachs

Die Anwendung statistischer Methoden wird heute in der Regel durch den Einsatz von Computern unterstützt. Das Programm R ist dabei ein leicht erlernbares und flexibel einzusetzendes Werkzeug, mit dem der Prozess der Datenanalyse nachvollziehbar verstanden und gestaltet werden kann. Die Anwendung und der Nutzen des Programms werden in dieser zwölften, vollständig neu bearbeiteten Auflage anhand zahlreicher mit R durchgerechneter Beispiele veranschaulicht. Das Buch erläutert statistische Ansätze und gibt leicht fasslich, anschaulich und praxisnah Studenten, Dozenten und Praktikern mit unterschiedlichen Vorkenntnissen die notwendigen info, um Daten zu gewinnen, zu beschreiben und zu beurteilen. Neben Hinweisen zur Planung und Auswertung von Studien ermöglichen viele Beispiele, Querverweise und ein ausführliches Sachverzeichnis einen gezielten Zugang zur Statistik, insbesondere für Mediziner, Ingenieure und Naturwissenschaftler.

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9 4 0 . 5 Lineare Abh¨angigkeit, Rang einer Matrix Eine Linearkombination von Vektoren besteht aus einer Summe von Vektoren aj , die mit Skalaren xj multipliziert werden: m xij aj b := x1 a1 + x2 a2 + . . 38) j=1 Die Vektoren in einer Linearkombination a1 , a2 , . . 39) j=1 Anderenfalls heißen die Vektoren linear abh¨angig. Die Anzahl linear unabh¨angiger Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) in einer Matrix A bestimmt den Rang (rg) der Matrix. 40) A hat vollen Rang Eine quadratische Matrix mit vollem Rang heißt regul¨ar, anderenfalls singul¨ar: rg(An×n ) = n ⇔ |A| = 0 ⇔ A−1 existiert!

Diese ist nicht notwendig endlich. Beispiele zu Mengen sind: G = {x | A = {a, b, c, d, e, f } N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . 1) Der griechische Buchstabe Epsilon ∈ wird verwendet, um die Zugeh¨origkeit von einzelnen Elementen zu einer Menge zu kennzeichnen: 5 ∈ N oder d ∈ A aber 5 ∈ A. Eine Menge C ist in A enthalten (C ⊆ A), wenn jedes Element von C auch in A enthalten ist. 2) Damit ist jede Menge in sich selbst enthalten. D ist eine echte Teilmenge von A (D ⊂ A, vgl. Abb. 1), wenn es Elemente in A gibt, die nicht zu D geh¨oren.

B. Geschlecht, Name, Gr¨oße) bezeichnet man als ,,Daten”; es sind Folgen von Zeichen f¨ur einen bestimmten Zweck. In der Statistik gelten Daten als realisierte Merkmalsauspr¨agungen. , erh¨alt man aus den Daten Informationen. Entsprechend der Ausf¨uhrungen aus dem vorangehenden Abschnitt unterscheidet ¨ man auch Daten nach zul¨assigen Operationen (vgl. Ubersicht 3). Mit den durch Zahlen verschl¨usselten (codierten) Informationen (Verschlusselungen) ¨ - es liegen Nominaldaten vor - kann nicht sinnvoll gerechnet werden.

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